DERIVACIÓN EN CADENA

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

                E: l ----------R

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

                   G: f(1)----------R

entonces la función compuesta

                                     

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

                                     

Ejemplo: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

                                       

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

              

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Resolución:

                                    

                                  

                         

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

                                

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

                                   

aplicando la regla de la cadena, será:

                                 [u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

                           

Ejemplos

 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

· u = x² - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

· Llamando u = sen x², hay que derivar sen³x² = u³.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³ )' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

· Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' = 3 · sen²x² · 2x · cos x² =

= 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.