OPTIMIZACION 1

¿Qué es optimización?

La definición de optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca. 
La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc. 

¿Para qué sirve la optimización?

Es aplicable principalmente para áreas como la Economía, pero aún cuando no estemos interesados en estudiar eso, nos es util porque en nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuáles elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos más de lo que podría haber sido de realizar una simple operación.

Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA.

Primera derivada.

 La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Se nota el criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

Definición de extremos:

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.

DERIVACIÓN EN CADENA

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

                E: l ----------R

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

                   G: f(1)----------R

entonces la función compuesta

                                     

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

                                     

Ejemplo: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

                                       

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

              

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Resolución:

                                    

                                  

                         

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

                                

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

                                   

aplicando la regla de la cadena, será:

                                 [u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

                           

Ejemplos

 Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

· u = x² - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

· Llamando u = sen x², hay que derivar sen³x² = u³.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³ )' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

· Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' = 3 · sen²x² · 2x · cos x² =

= 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

 funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Solución:

Primero,

segundo,

ahora el cociente,

acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.